CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Conjunto dos Números Naturais

             Quando você faz uma contagem em seqüência, começando ou não com o zero você está na verdade usando o conjunto dos números naturais, que é representado por N.

N={0,1,2,3,4,5,6,7,...}este conjunto dos números naturais começa com o zero e é infinito,ou seja, não podemos dizer seu ultimo elemento.

Temos também N*={1,2,3,4,5,6,...} veja que este conjunto não começa com o zero, o símbolo de asterisco que aparece ao lado do N significa que o conjunto não tem o zero. Se você pegar sua régua vai perceber que ela começa com o zero e vai até o trinta, se for uma régua tradicional a sua régua pode ser um exemplo do que chamamos de reta numérica com uma diferença a reta numérica é infinita.

Veja que na reta numérica acima  que começa com o zero não tem uma ponta e não tem porque é onde ela começa já no outro lado você ver que tem uma ponta isto significa que depois do numero 7 tem mais números, ou seja, que esta reta numérica é infinita.

Antecessor e Sucessor

O antecessor de um número é aquele número que está antes dele, exemplo o antecessor de 9 é 8; o  antecessor de 879 é 878 , para saber o antecessor de um numero basta subtrair uma unidade 9 - 1= 8 por isso 8 é antecessor de 9 e 879 - 1 = 878 por isso 878 é antecessor de 879.

O Sucessor de um número é aquele número que está depois dele, exemplo o sucessor de 15 é 16 e de 327 é 328, para saber qual é o sucessor de um número, basta somar uma unidade 15 + 1 = 16 por isso 16 é sucessor de 15 e 327 + 1 = 328 por isso 328 é sucessor de 327.

 COMPARAÇÃO ENTE NÚMEROS NATURAIS

 Escreva os elementos dos subconjuntos dos números naturais.

a) Escreva o subconjunto dos números naturais menores do que 5.

                { 0, 1, 2, 3, 4 }

b) Escreva o subconjunto dos números naturais menores ou igual a 6.

   OBS:Como está querendo menor ou igual, escrevemos todos os menores que 6 e o próprio 6

                  { 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

c) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 12.

OBS:Maiores que 12 é um conjunto infinito, então escreva uns 3 ou 4 elementos e coloco reticências.

                  { 13, 14, 15, 16, ...}

d) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 5 e menores que 9.

OBS:Maior que 5 e menor que 9, são os números entre 5 e 9.

                 { 6, 7, 8 }

e) Escreva o subconjunto dos números naturais maiores que 8 e menores ou igual a 12.

OBS: maiores que 8 começa com o 9 menor ou igual a 12 significa que vai até o 12.

                { 9, 10, 11, 12 }

Esse mesmo tipo de questão pode está escrita na forma de linguagem matemática, veja:

f) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 7, maior que 7 começa no 8 e vai até o infinito.

                                    {  8, 9, 10, 11, ... }

g) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é menor que 6.

                          { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

h) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é menor que 4, o ASTERISCO no N significa que no conjunto não pode ter o ZERO.

                            { 1, 2, 3 }

i) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 3 e menor que 7, são os elementos entre 3 e 7.

                          { 4, 5, 6 }

j) Escreva o subconjunto dos números naturais tal que

OBS: Lê-se x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é maior que 2, e menor ou igual a 7, maior que 2 começa no 3 como é igual a 7 vai até 7.

                            { 3, 4, 5, 6, 7 }

ADIÇÃO

            É a junção de dois ou mais valores, chamados de PARCELAS e o resultado da operação chamamos de SOMA ou TOTAL.

            Na escola de João estudam alunos, sendo 1 38 4 masculinos e 1 124 femininos. Quantos alunos estudam nessa escola?

É um típico problema de adição é só somar 1 384 + 1 124, veja:

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

1ª Fechamento

            A soma de dois números naturais tem como resultado outro número natural.

Ex:   2  +  5  =  7

2ª Comutativa

            A ordem das parcelas não alteram a soma ou resultado.

Ex: 2  +  3  =  3  +  2  tanto faz somar 2 + 3 como somar 3 + 2

3ª Elemento neutro

            É a soma de um número natural com o zero.

Ex:    5   +   0   =  0 + 5 =   5

4ª Associativa

            A soma de três números naturais pode ser realizada associando os dois primeiros números ou associando os dois últimos números.

Ex:  5   +   3    +   8  =    5   +   3   +    8  vamos associar o 5 + 3  e  3 + 8

       ( 5  +  3 ) +  8    =   5   +  ( 3   +   8 )

SUBTRAÇÃO

            É a diferença entre dois números naturais em que o primeiro é maior ou igual ao segundo.

           Se o subtraendo é 267 e a diferença é 648, qual o valor do minuendo?

Problemas em que você tem o valor da diferença e deseja saber o valor do minuendo ou subtraendo, basta somar o valor da diferença com minuendo ou subtraendo.

648  +  267  =  915

ATENÇÃO: as propriedades estudadas na adição NÃO VALEM PARA SUBTRAÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

            É a forma de se apresentar uma adição com duas ou mais parcelas.

6  +   6    +    6  =   18  temos aqui a soma do 6 por ele mesmo 3 vezes, então podemos representar como 6 vezes 3, assim:

              6   x    3    =    18    ou        3    x     6    =   18

            Os termos da multiplicação são os fatores e o resultado é o produto.

PROPRIEDADE DA MULTIPLICAÇÃO

            1ª Fechamento

O produto de dois números naturais tem como resultado outro número natural.

Ex:   2  x  5  =  10

2ª Comutativa

            A ordem dos fatores não alteram o produto.

Ex: 2  x  3  =  3  x  2  tanto faz multiplicar  2 x 3 como multiplicar 3 x 2

3ª Elemento neutro

            É a multiplicação de um número natural por um.

Ex:    5   x   1   =  1  x  5  =  5

4ª Associativa

            O produto de três números naturais pode ser realizada associando os dois primeiros números ou associando os dois últimos números.

Ex:  5   x   3    x   8  =    5   x   3   x    8  vamos associar o 5 x 3  e  3 x 8

     ( 5   x   3 )  x   8  =    5   x  ( 3   x   8 )

5ª distributiva em relação a adição

            É a multiplicação de um número natural por uma soma em que esse número multiplica cada parcela da soma.

DIVISÃO

            Dividir o 1° número pelo 2° número é encontrar um número que multiplicado pelo 2° seja igual ou menor que o primeiro.

Atenção: Não existe divisão por zero

Ex:    15  :   5   =   ?   vamos encontrar um número que multiplicado por 5 der 15

         15  :   5  =  3

Termos da divisão

DIVIDENDO   :  DIVISOR   =  QUOCIENTE

Veja como realizamos a divisão de 5 546 por 24

Dessa divisão tiramos uma relação muito importante na resolução de alguns problemas

            DIVIDENDO ( D ) =  QUOCIENTE ( q )  X  DIVISOR ( d )  +  RESTO ( r )

           D =  q  x  d  + r

           D = 231  x  24  +  2 faz primeiro a multiplicação

           D  =  5 544 + 2 soma

           D   =  5 546

OBS: Veja que na relação D =  q  x  d  + r  temos quatro termos, sabendo três deles é possível calcular o outro.