DIVISIBILIDADE

Divisibilidade

 

          Um número é divisível por outro quando sua divisão por esse número for exata.

 Por exemplo: 20 : 5 = 4  logo 20 é divisível por 5.

Múltiplos de um número

          Um número tem um conjunto infinito de múltiplos. Para se chegar a esses múltiplos devemos multiplicar o número 5 por 0,1,2,3,4,5,...

5x0=0   5x1=5      5x2=10       5x3=15            5x4=20             5x5=25

Logo o conjunto dos múltiplos de 5 é { 0,5,10,15,20,25,30,... }

            Conjunto dos múltiplos de 3 é { 0,3,6,9,12,15,18,... }

Veja que no conjunto dos múltiplos de um número temos o menor múltiplo que é o zero já o maior o múltiplo não podemos identificar já que o conjunto dos números naturais é infinito.

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

         Um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando terminar em 0,2,4,6, ou 8.

  Atenção não confundir o zero como sendo um número par, o zero é um número nulo e não um número par.

  Se o zero for o ultimo algarismo de um número, ele faz com que esse número seja par. Exemplo 20.

 

Divisibilidade por 3

         Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismo for um número divisível por 3.

  Exemplo: 5367 é divisível por 3, pois 5+3+6+7=21 e 21 é divisível por 3 como a soma dos algarismos é um número divisível por 3 logo o número 5367 também é divisível por 3.

 

Divisibilidade por 4

         Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos os dois últimos algarismo da direita formar um número divisível por 4.

  Exemplo: 23416 esse número é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos formam o número 16 que é divisível por 4.

  Exemplo: 3477804 também é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos formam o número 04 que é divisível por 4.

Atenção 3457800 quando o número terminar em 00 também será divisível por 4.

 

Divisibilidade por 5

         Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.

  Exemplo: 20 e 25

 

Divisibilidade por 6

          Um número só será divisível por 6 se ele for ao mesmo tempo divisível por 2 e por 3.

  Exemplo: 276 é divisível por 6, pois ele é divisível por 2 porque é par e é divisível por 3 porque 2+7+6=15 que é divisível por 3

 

Divisibilidade por 8

È parecido com o critério da divisibilidade por 4, só que ao invés de pegar os dois últimos algarismos pegamos os três últimos algarismos, se formar um número divisível por 8 então esse número será divisível por 8.

  Exemplo: 38288 é divisível por 8, pois 288 é divisível por 8.

 

Divisibilidade por 9

         Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 9. É o mesmo processo da divisibilidade por 3.

  Exemplo: 277263 é divisível por 9, pois 2+7+7+2+6+3=27 a soma dos algarismos é 27 que é divisível por 9. Portanto o numero 277263 é divisível por 9.

 

Divisibilidade por 10

            Um numero é divisível por 10 quando termina em ZERO, exemplo 250.

 

Divisibilidade por 11

          Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores de ordem impar e os de ordem par for divisível por 11. Essa ordem dos algarismos será da direita para a esquerda.

  Atenção se o resultado da subtração for zero o número também será divisível por 11.

  Exemplo: 9620237 é divisível por 11, veja :

1° algarismo 7          Soma dos algarismos de ordem impar da direita para esquerda 7 + 2 + 2 + 9 = 20

2° algarismo 3          Soma dos algarismos de ordem par da direita para esquerda 3 + 0 + 6 = 9

3° algarismo 2          Subtraindo 20 - 9 = 11, veja que o resultado é 11 como ele é

4° algarismo 0          divisível por 11 logo o número dado também é divisível por 11.

5° algarismo 2         

6° algarismo 6

7° algarismo 9

  Exemplo: 17248

                 soma dos algarismos de ordem impar 8+2+1 = 11

                 soma dos algarismos de ordem par 4 + 7 = 11

                 veja que temos 11 – 11 = 0 por isso 17248 é divisível por 11.

Números primos

          Número primo é aquele que é divisível apenas por 1 por ele mesmo.

  Exemplos: 2 é divisível por 1 e por 2

                              3 é divisível por 1 e por 3

                              5 é divisível por 1 e por 5

É muito importante que você saiba sem o uso de cálculos pelo menos a seqüência alguns números primos. Como ( 2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,...) esta seqüência é importante que se aprenda, pois ela será utilizada na decomposição de números e no cálculo de divisores.

Como reconhecer um número primo

            Para saber se um número é primo, dividimos ele pela seguência de números primos ( 2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,...) até obtermos uma divisão em que o quociente seja menor ou igual ao divisor se nenhuma da divisões anteriores forem exatas, então o número será primo.

Ex: Verificar se 1 239 é primo ou composto

 

 

Ex: Verificar se 119 é primo ou composto

 

 

 

Ex: Verificar se 47 é primo ou composto

  Atenção: O número que não é primo é chamado de número composto.

 

Fatoração

          Utilizamos a fatoração para decompor um número composto em fatores primos.

Exemplo : vamos fatorar o número 60

 

        

                   Logo a forma fatorada de 60 é 2² x 3 x 5 veja que o 2 tem expoente 2 porque apareceu duas vezes.

     Lembra da seqüência de números primos citada acima, quando vamos fazer a fatoração de um número só podemos dividir ele por um número primo.

     Se for possível vamos dividir por 2 até quando não puder mais, depois por 3, depois por 5 e assim sucessivamente.

 

Exemplo: fatorar o número 90.

                

            

               Logo a forma fatorada de 90 é 2 x 3² x 5

Divisores

       Podemos determinar os divisores de um número através da fatoração do número. Após fatorar  criamos uma coluna ao lado da coluna fatorada, colocando o número 1 acima do 1º número da fatoração,depois cada número da fatoração multiplicará que está acima dele na 2ª coluna. 

 

 Exemplo: encontrar os divisores de 20.

           

  Logo os divisores de 20 são todos os resultados das multiplicações 1,2,4,5,10 e 20

                                

              Exemplo: Vamos agora determinar os divisores de 90

                 

               Logo os divisores de 90 são todos os resultados das multiplicações 1,2,3,6,9,18,5,10,15,30,45 e 90 se preferir poderá ser colocado na ordem numérica 1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45 e 90

 

          Quantidade de divisores de um número

          Podemos também utilizar a fatoração para indicar a quantidade de divisores sem ter que escrevê-los.

  Exemplo: quando fatoramos o número 90 temo a forma fatorada 2¹ x 3² x 5¹ o expoente 1 não é necessário colocar só estou colocando afim de que você possa visualizar melhor o que vou explicar.

          Na forma fatorada temos os expoente 1, 2 e 1, vamos aumentar uma unidade em cada expoente ficando então 2, 3 e 2 e por fim vamos multiplicá-los 2 x 3 x 2 = 12, logo 90 tem 12 divisores.

 

  Vamos calcular o numero de divisores de 60

A forma fatorada de 60 é 2² x 3 x 5

Os expoentes são           2     1    1

Aumentado de 1 fica        3     2    2

Multiplicando                   3 x  2 x 2 = 12 portanto 60 também tem 12 divisores.

 

  Vamos calcular o numero de divisores de 20

A forma fatorada de 20 é 2² x  5

Os expoentes são          2      1   

Aumentado de 1 fica       3      2   

Multiplicando                  3  x  2  = 6 portanto 20  tem 6 divisores.